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Logaritmos: ejemplos y soluciones

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Los logaritmos, como cualquier número, se pueden sumar, restar y convertir de todas las formas. Pero dado que los logaritmos no son números del todo comunes, hay reglas que se llaman propiedades basicas.

Debe conocer estas reglas: ningún problema logarítmico grave se puede resolver sin ellas. Además, hay muy pocos, todo se puede aprender en un día. Entonces comencemos.

Suma y resta de logaritmos

Considere dos logaritmos con la misma base: log un x y log un y. Luego se pueden sumar y restar, además:

Entonces, la suma de los logaritmos es igual al logaritmo del producto, y la diferencia es el logaritmo del cociente. Tenga en cuenta: el punto clave aquí es motivos iguales. Si los motivos son diferentes, ¡estas reglas no funcionan!

Estas fórmulas ayudarán a calcular la expresión logarítmica incluso cuando no se cuentan sus partes individuales (consulte la lección "¿Qué es el logaritmo")? Eche un vistazo a los ejemplos y vea:

Como las bases de los logaritmos son las mismas, utilizamos la fórmula de suma:
registro6 4 + log6 9 = log6 (4 · 9) = log6 36 = 2.

Las bases son las mismas, usamos la fórmula de diferencia:
registro2 48 - registro2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Desafío Encuentre el valor de la expresión: log3 135 - registro3 5.

Nuevamente, las bases son las mismas, entonces tenemos:
registro3 135 - registro3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Como puede ver, las expresiones originales están formadas por logaritmos "malos" que no se cuentan por separado. Pero después de las transformaciones, se obtienen números bastante normales. Sobre este hecho se construyen muchas pruebas. Sí, control - tales expresiones con toda seriedad (a veces - casi sin cambios) se ofrecen en el examen.

Eliminar exponente del logaritmo

Ahora vamos a complicar un poco la tarea. ¿Qué pasa si hay un grado en la base o argumento del logaritmo? Luego, se puede sacar un indicador de este grado del logaritmo de acuerdo con las siguientes reglas:

  1. registro un x n = n un x

Es fácil ver que la última regla sigue a sus dos primeros. Pero es mejor recordarlo de todos modos: en algunos casos, esto reducirá significativamente la cantidad de cómputo.

Por supuesto, todas estas reglas tienen sentido al observar el logaritmo ODZ: a> 0, a ≠ 1, x> 0. Y también: aprenda a aplicar todas las fórmulas no solo de izquierda a derecha, sino también viceversa, es decir Puede ingresar los números delante del logaritmo en el logaritmo mismo. Esto es lo que se requiere con mayor frecuencia.

Desafío Encuentre el valor de la expresión: log7 49 6 .

Eliminemos el grado en el argumento por la primera fórmula:
registro7 49 6 = 67 49 = 6 · 2 = 12

Desafío Encuentra el valor de la expresión:

[Título]

Tenga en cuenta que el denominador es el logaritmo, cuya base y argumento son grados exactos: 16 = 2 4, 49 = 7 2. Tenemos:

[Título]

Creo que el último ejemplo necesita aclaración. ¿Dónde desaparecieron los logaritmos? Hasta el último momento, trabajamos solo con el denominador. Presentaron la base y el argumento del logaritmo allí en forma de grados y llevaron a cabo indicadores: recibieron una fracción de "tres pisos".

Ahora veamos la fracción principal. El numerador y el denominador tienen el mismo número: log2 7. Desde el registro2 7 ≠ 0, podemos reducir la fracción - 2/4 permanecerá en el denominador. De acuerdo con las reglas de la aritmética, los cuatro se pueden transferir al numerador, lo que se hizo. El resultado fue la respuesta: 2.

Transición a una nueva fundación

Hablando sobre las reglas de adición y sustracción de logaritmos, enfaticé específicamente que funcionan solo por los mismos motivos. Pero, ¿y si los motivos son diferentes? ¿Qué pasa si no son potencias exactas del mismo número?

Las fórmulas para la transición a una nueva base vienen al rescate. Los formulamos en forma de teorema:

Deje el logaritmo del registro un x. Entonces, para cualquier número c tal que c> 0 y c ≠ 1, la igualdad

[Título]

En particular, si ponemos c = x, obtenemos:

[Título]

De la segunda fórmula se deduce que puede intercambiar la base y el argumento del logaritmo, pero al mismo tiempo toda la expresión se "voltea", es decir El logaritmo está en el denominador.

Estas fórmulas rara vez se encuentran en términos numéricos ordinarios. Es posible evaluar qué tan convenientes son solo al resolver ecuaciones logarítmicas y desigualdades.

Sin embargo, hay tareas que no se pueden resolver en absoluto, excepto por la transición a una nueva base. Considere un par de estos:

Desafío Encuentre el valor de la expresión: log5 16 log2 25.

Tenga en cuenta que los argumentos de ambos logaritmos contienen grados exactos. Sacaremos indicadores: log5 16 = log5 2 4 = 4log5 2, iniciar sesión2 25 = log2 5 2 = 2log2 5,

Y ahora, "voltea" el segundo logaritmo:

[Título]

Como el producto no cambia a partir de la permutación de los factores, multiplicamos con calma los cuatro y los dos, y luego descubrimos los logaritmos.

Desafío Encuentre el valor de la expresión: log9 100 lg 3.

La base y el argumento del primer logaritmo son grados exactos. Escribimos esto y nos deshacemos de los indicadores:

[Título]

Ahora nos libraremos del logaritmo decimal, moviéndonos a una nueva base:

[Título]

Identidad logarítmica básica

A menudo, en el proceso de resolución, se requiere representar el número como un logaritmo para una base dada. En este caso, las fórmulas nos ayudarán:

  1. n = log un un n

En el primer caso, el número n se convierte en un indicador del grado en el argumento. El número n puede ser absolutamente cualquier cosa, porque es solo el valor del logaritmo.

La segunda fórmula es en realidad una definición reformulada. Se llama:

De hecho, ¿qué sucede si el número b se eleva hasta tal punto que el número b en este grado da el número a? Así es: este es el número a. Lea cuidadosamente este párrafo nuevamente, muchos de ellos "cuelgan".

Al igual que las fórmulas para la transición a una nueva base, la identidad logarítmica básica es a veces la única solución posible.

Desafío Encuentra el valor de la expresión:

[Título]

Tenga en cuenta que el registro25 64 = registro5 8 - acaba de hacer un cuadrado desde la base y el argumento del logaritmo. Dadas las reglas de multiplicación de grados con la misma base, obtenemos:

[Título]

Si alguien no está al tanto, este fue un verdadero desafío del examen :)

Unidad logarítmica y cero logarítmico

En conclusión, daré dos identidades que difícilmente pueden llamarse propiedades; más bien, estas son consecuencias de la definición del logaritmo. Se encuentran constantemente en tareas y, sorprendentemente, crean problemas incluso para estudiantes "avanzados".

  1. registro un a = 1 es esto. Recuerde de una vez por todas: el logaritmo para cualquier base a de esta base es igual a uno.
  2. registro un 1 = 0 es esto. La base a puede ser cualquier cosa, pero si el argumento es uno, ¡el logaritmo es cero! Porque un 0 = 1 es una consecuencia directa de la definición.

Esas son todas las propiedades. ¡Asegúrese de practicar su aplicación en la práctica! Descargue la hoja de trucos al comienzo de la lección, imprímala y resuelva los problemas.

Definición en matemáticas

Un logaritmo es una expresión de la siguiente forma: logunb = c, es decir, el logaritmo de cualquier número no negativo (es decir, cualquier positivo) "b" basado en su base "a" es el grado de "c" al que se debe elevar la base "a" para obtener finalmente el valor "b". Analicemos el logaritmo con ejemplos, digamos que hay un registro de expresiones28. ¿Cómo encontrar la respuesta? Muy simple, necesita encontrar un grado tal que del 2 al grado deseado obtenga 8. Después de hacer algunos cálculos en la mente, ¡obtenemos el número 3! Y es cierto, porque 2 en grado 3 da el número 8 en la respuesta.

Variedades de logaritmos

Para muchos alumnos y estudiantes, este tema parece complicado e incomprensible, pero de hecho los logaritmos no dan tanto miedo, lo principal es comprender su significado general y recordar sus propiedades y algunas reglas. Hay tres tipos separados de expresiones logarítmicas:

  1. El logaritmo natural de ln a, donde la base es el número de Euler (e = 2.7).
  2. El logaritmo decimal es log a, donde la base es el número 10.
  3. El logaritmo de cualquier número b en la base a> 1.

Cada uno de ellos se resuelve de forma estándar, incluida la simplificación, reducción y posterior reducción a un solo logaritmo utilizando teoremas logarítmicos. Para obtener los valores correctos de los logaritmos, uno debe recordar sus propiedades y la secuencia de acciones al resolverlos.

Reglas y algunas restricciones.

En matemáticas, hay varias reglas, restricciones, que se aceptan como axioma, es decir, no están sujetas a discusión y son ciertas. Por ejemplo, es imposible dividir los números entre cero, y aún es imposible extraer la raíz de un grado par de los números negativos. Los logaritmos también tienen sus propias reglas, según las cuales puede aprender fácilmente a trabajar incluso con expresiones logarítmicas largas y amplias:

  • la base "a" siempre debe ser mayor que cero, y al mismo tiempo no ser igual a 1, de lo contrario la expresión perderá su significado, porque "1" y "0" siempre son iguales en cualquier grado a sus valores,
  • si a> 0, entonces a b> 0, resulta que "c" debe ser mayor que cero.

¿Cómo resolver logaritmos?

Por ejemplo, se le da la tarea de encontrar la respuesta a la ecuación 10 x = 100. Es muy fácil, debe elegir dicho grado, elevando hasta el número diez, obtenemos 100. ¡Esto, por supuesto, es un grado cuadrático! 10 2 = 100.

Ahora imaginemos esta expresión como un logarítmico. Obtenemos log10100 = 2. Al resolver logaritmos, todas las acciones casi convergen para encontrar el grado en el que necesita ingresar la base del logaritmo para obtener un número dado.

Para determinar con precisión el valor de un grado desconocido, debe aprender a trabajar con una tabla de grados. Se ve así:

Como puede ver, algunos indicadores de grado pueden adivinarse intuitivamente si hay una mentalidad técnica y conocimiento de la tabla de multiplicar. Sin embargo, para valores grandes, se requiere una tabla de grados. Incluso aquellos que no entienden nada en temas matemáticos complejos pueden usarlo. La columna izquierda muestra los números (base a), la fila superior de números es el valor del grado c al que se eleva el número a. En la intersección, los valores de los números que son la respuesta (a c = b) se definen en las celdas. Tomemos, por ejemplo, la primera celda con el número 10 y al cuadrado, obtenemos el valor 100, que se indica en la intersección de nuestras dos celdas. ¡Todo es tan simple y fácil que incluso las verdaderas humanidades lo entenderán!

Ecuaciones y Desigualdades

Resulta que bajo ciertas condiciones el exponente es el logaritmo. Por lo tanto, cualquier expresión numérica matemática puede escribirse en forma de igualdad logarítmica. Por ejemplo, 3 4 = 81 se puede escribir como el logaritmo de 81 en la base 3, que es cuatro (log381 = 4). Para grados negativos, las reglas son las mismas: 2 -5 = 1/32 escribimos en forma de logaritmo, obtenemos log2 (1/32) = -5. Una de las secciones más fascinantes de las matemáticas es el tema de los "logaritmos". Consideraremos ejemplos y soluciones de ecuaciones justo debajo, inmediatamente después de estudiar sus propiedades. Ahora veamos cómo se ven las desigualdades y cómo distinguirlas de las ecuaciones.

Una expresión se da de la siguiente manera: log2(x-1)> 3: es una desigualdad logarítmica, ya que el valor desconocido de "x" está bajo el signo del logaritmo. Y también en la expresión se comparan dos cantidades: el logaritmo del número deseado en base a dos es mayor que el número tres.

La diferencia más importante entre las ecuaciones logarítmicas y las desigualdades es que las ecuaciones con logaritmos (un ejemplo es el logaritmo2x = √9) implica uno o más valores numéricos específicos en la respuesta, mientras que resolver la desigualdad determina tanto la región de valores admisibles como los puntos de ruptura de esta función. Como resultado, la respuesta no es un simple conjunto de números individuales como en la respuesta de la ecuación, sino una serie continua o un conjunto de números.

Teoremas básicos de logaritmos

Al resolver tareas primitivas para encontrar los valores del logaritmo, es posible que no se conozcan sus propiedades. Sin embargo, cuando se trata de ecuaciones logarítmicas o desigualdades, en primer lugar, es necesario comprender claramente y poner en práctica todas las propiedades básicas de los logaritmos. Más adelante nos familiarizaremos con ejemplos de ecuaciones, analicemos primero cada propiedad con más detalle.

  1. La identidad básica se ve así: logaB = B. Se aplica solo cuando a es mayor que 0, no es igual a uno, y B es mayor que cero.
  2. El logaritmo del producto se puede representar en la siguiente fórmula: logd(s1* s2) = registrods1 + logds2. En este caso, un requisito previo es: d, s1 y s2 > 0 y ≠ 1. Puede dar una prueba de esta fórmula de logaritmos, con ejemplos y una solución. Dejar registrouns1 = f1 y registraruns2 = f2entonces a f1 = s1, a f2 = s2. Tenemos eso s1* s2 = a f1 * a f2 = a f1 + f2 (propiedades de grados), y luego por definición: logun(s1* s2) = f1+ f2 = loguns1 + loguns2, como se requiere para probar.
  3. El logaritmo de un privado se ve así: logun(s1/s2) = loguns1- registrouns2.
  4. Un teorema en forma de fórmula toma la siguiente forma: logun q b n = n / q logunb.

Esta fórmula se llama "propiedad del grado del logaritmo". Se asemeja a las propiedades de los grados ordinarios, y no es sorprendente, porque todas las matemáticas se basan en postulados regulares. Veamos la prueba.

Dejar registrounb = t, resulta a t = b. Si ambas partes se elevan a la potencia m: a tn = b n,

pero como a tn = (a q) nt / q = b n, por lo tanto, logun q b n = (n * t) / t, luego logun q b n = n / q logunb. El teorema está probado.

Ejemplos de problemas y desigualdades.

Los tipos más comunes de problemas sobre el tema de los logaritmos son ejemplos de ecuaciones y desigualdades. Se encuentran en casi todos los libros de problemas, y también se incluyen en la parte requerida de los exámenes de matemáticas. Para ingresar a la universidad o realizar exámenes de ingreso en matemáticas, debe saber cómo resolver correctamente dichos problemas.

Desafortunadamente, no existe un plan o esquema único para resolver y determinar el valor desconocido del logaritmo, sin embargo, ciertas reglas se pueden aplicar a cada desigualdad matemática o ecuación logarítmica. En primer lugar, debe averiguar si es posible simplificar la expresión o conducir a una vista general. Las expresiones logarítmicas largas se pueden simplificar si sus propiedades se usan correctamente. Vamos a conocerlos pronto.

Al resolver las ecuaciones logarítmicas, es necesario determinar qué tipo de logaritmo está frente a nosotros: un ejemplo de una expresión puede contener un logaritmo natural o un decimal.

Aquí hay ejemplos de logaritmos decimales: ln100, ln1026. Su solución se reduce al hecho de que es necesario determinar el grado en que la base 10 será igual a 100 y 1026, respectivamente. Para soluciones de logaritmos naturales, uno necesita aplicar identidades logarítmicas o sus propiedades. Veamos ejemplos de resolución de problemas logarítmicos de varios tipos.

Cómo usar fórmulas de logaritmo: con ejemplos y soluciones

Entonces, veamos ejemplos de uso de los teoremas básicos en logaritmos.

  1. La propiedad del logaritmo del producto puede usarse en tareas donde es necesario descomponer el gran valor del número b en factores más simples. Por ejemplo, log24 + log2128 = log2(4 * 128) = log2512. La respuesta es 9.
  2. registro48 = log2 2 2 3 = 3/2 log22 = 1.5 - como puede ver, usando la cuarta propiedad del grado del logaritmo, fue posible resolver a primera vista una expresión compleja e irresoluble. Solo es necesario factorizar la base y luego derivar el grado del signo del logaritmo.

Tareas del examen

Los logaritmos a menudo se encuentran en los exámenes de ingreso, especialmente muchos problemas logarítmicos en el examen (examen estatal para todos los graduados de la escuela). Por lo general, estas tareas están presentes no solo en la parte A (la parte de prueba más fácil del examen), sino también en la parte C (las tareas más difíciles y voluminosas). El examen implica un conocimiento preciso y perfecto del tema "Logaritmos naturales".

Se toman ejemplos y soluciones a los problemas de los exámenes oficiales. Veamos cómo se resuelven esas tareas.

Registro dado2(2x-1) = 4. Solución:
reescribe la expresión simplificándola un poco2(2x-1) = 2 2, por la definición del logaritmo obtenemos que 2x-1 = 2 4, por lo tanto 2x = 17, x = 8.5.

A continuación hay algunas recomendaciones, a continuación, las cuales puede resolver fácilmente todas las ecuaciones que contienen expresiones que están bajo el signo del logaritmo.

  • Todos los logaritmos se reducen mejor a la misma base para que la solución no sea engorrosa y confusa.
  • Toda la expresión debajo del signo del logaritmo se indica como positiva, por lo tanto, cuando el factor hace el exponente de la expresión, que se encuentra debajo del logaritmo y, como base, la expresión que queda debajo del logaritmo debe ser positiva.

Mira el video: Logaritmos. Solución de ecuaciones. Ejemplo 1 (Diciembre 2022).

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